Bloque I

DEFINICIONES BÁSICAS

Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se 
registra como un dato. 
Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles 
resultados de un experimento. 
Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y 
observaremos los resultados siguientes: 
 S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → S = { 6 } 
Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos; 
 S = { HH, HT, TH, TT } → S = { 4 } 
Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados 
 de un experimento. 
En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los 
posibles números en la cara del dado es un evento 
simple.

Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son 

eventos compuestos si se componen de dos o más 

eventos simples. 

Ejemplos. A = { evento que salga un # impar } 

 A = { 1, 3, 5 } 

 B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }

CONJUNTOS. 
Operaciones con Conjuntos 
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto 
C que está formado por los elementos de A, de B o de 
ambos. 
 A ∪ B = { x / x , A, x , B o x , a ambos } 
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es 
el conjunto C que está formado por los elementos que 
pertenecen a ambos conjuntos simultanéamente. 
 A ∩ B = { x / x , A y x , B } 
Complementos. El complemento de un conjunto A que 
se denota por Ac
 es el evento que consta de todos los 
resultados en el espacio muestral que no están 
contenidos en A. 
 Ac
 = { x ∈ S x ∉ A } 
 Ac
 + A = S 
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común, 
Su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se 
dicen eventos mutuamente excluyentes. 
 A ∩ B = { Φ }

PROBABILIDAD.
La probabilidad de un evento A, 
P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra. 

                # de maneras que A puede ocurrir 
 P(A) = ------------------------------------------------- 
                # total de resultados posibles 

              $a (eventos que corresponden a A ) 
 P(A) = -------------------------------------------------- 
                  $ (eventos totales en S ) 
Reglas Básicas de Probabilidades. 
1. Ley Fundamental de Probabilidad. Una probabilidad 
 siempre estará comprendida entre 0 y 1. 
0 ≤ P(A) ≤ 1 
2. P(S) = 1. La suma de las probabilidades de todos 
los resultados posibles del espacio muestral es 1. 
3. Ley del Complemento. Si Ac
 es el complemento de A, 
entonces, 
 P (Ac ) + P (A) = 1 
 P (Ac ) = 1 - P (A) 
 P (A) = 1 - P (Ac ) 

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo.

El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.

Si un evento A puede ocurrir de n1 maneras y una vez que este ha ocurrido, otro evento B puede n2 maneras diferentes entonces, el número total de formas diferentes en que ambos eventos pueden ocurrir en el orden indicado, es igual a  n1 x n2.

¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?

Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer

premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y

posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras

distintas de repartir los tres premios.

n

10 x 9 x 8 = 720

¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se

admiten repeticiones.

26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000

n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.

El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea 

n

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Por definición 0! = 1

 Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.

Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.

 Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:

* La técnica de la multiplicación

* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion

* La técnica de la permutación

* La técnica de la combinación.

TÉCNICAS DE CONTEO

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION

Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar  puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.


 N1 x N2 x ..........x  Nr  maneras o formas

Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2   y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12

PRINCIPIO ADITIVO.

Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada  a cabo de,

                        M + N + .........+ W  maneras o formas

Ejemplos:

1)      Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?

Solución:

M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool

N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy

W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric

      M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras

N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras

W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora

PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:

                      m+n maneras.

Ejemplo:

Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

PRESA                     PLAYAS

Económico             Residencial

Condominio           Californiano

                              Provenzal

   m=2                           n=3

           2+3= 5 maneras

TEORÍA DE CONJUNTOS

1. Sean

Hallar A∪ B, A∪ C, A∪ D.
A∪ B= {{1,2,3}, 1,2,3}
A∪ C= {{1,2,3}, 1,2,3,4}
A∪ D= {{1,2,3}, 1{,2,3},5}

2. Se hizo una encuesta a personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen sólo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿cuántas personas leen A?

U= 50 

6x + 12x + 4x + 3x= 50    x=2

n(A)= 18(2)

n(A)= 36

3. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca, pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?

  H=                             U=                                M=

40= 11 + 9 + 12 + x

 x=8

4. Dado los conjuntos A; B; C, contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:

n(A - B)= 21

n(B - C)= 25

n(C - A)= 32

3n(A∩B∩C)= n(A∪B∪C)'

Hallar: (A∩B∩C)´

98= 4x +  21 + 25 + 32

20= 4x

x=5

Piden: (A∩B∩C)´

[U-(A∩B∩C) ]= 98-5=93

5. En un condominio de 100 personas: 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?

      =10

COMBINACIONES Y PERMUTACIONES

6.¿De cu´antas maneras  pueden  sentarse  10 personas  en un banco si hay 4 sitios disponibles?

10P4= 5040 maneras de sentarse.

7.En una  clase de 10 alumnos  van  a distribuirse 3 premios.  Averiguar  de cuántos modos puede hacerse si:

Pueden darse dos casos uno si

hay 10p3 = 10 · 9 · 8 = 720 maneras  de distribuir los premios  si 

estos son diferentes;  en el caso de que los premios  sean iguales,  pueden  distribuirse de C10,3 = 10 · 9 · 8/6 = 120 maneras.

8. Hay que colocar a 5 hombres  y 4 mujeres  en una  fila de modo que las mujeres  ocupen los lugares pares.  ¿De cu´antas maneras  puede hacerse?

Ya  que  la fila es de 9 individuos  en total,  hay  4 posiciones  pares  (que deben ser ocupadas  por las 4 mujeres)  y 5 posiciones impares  (para  los 5 hombres).

P4   · P5    = 4! · 5! = 2880 maneras.

9. ¿Cuantos nu´meros de 4 d´ıgitos se pueden  formar con las cifras 0,1,. . . ,9

 a)    permitiendo repeticiones;

Puesto  que  debe  formarse  un  nu´mero  de 4 d´ıgitos,  el primero  de estos no puede  ser cero. Por  lo tanto,  hay nueve posibilidades  para el primer  d´ıgito y diez para  cada  uno de los tres  d´ıgitos restantes, obteni´endose un total  de 9 · 103  = 9000 nu´meros posibles.

 b).    sin repeticiones;

 Al igual que en el apartado anterior,  el primer  d´ıgito  no puede  ser cero. Como adem´as no se permiten  repeticiones,  hay nueve posibili- dades para  el segundo d´ıgito: el cero y las ocho no escogidas para  el primer  d´ıgito. Por tanto,  se pueden  formar 92 · 8 · 7 = 4536 nu´meros.

 c)    si el u´ltimo d´ıgito ha de ser 0 y no se permiten  repeticiones?

 Fijamos  el u´ltimo d´ıgito y,  como no  puede  haber  repeticiones,  se obtiene  un total  de 9 · 8 · 7 · 1 = 504 nu´meros.

10.En un grupo de 10 amigos, ¿cu´antas distribuciones de sus fechas de cumplean˜os pueden  darse al an˜o?

Considerando que  el an˜o  tiene  365 d´ıas  y que  puede  darse  el caso  de que varias  personas  cumplan  en la misma  fecha,  el nu´mero de maneras distintas es V R365,10 = 36510 .

11.Una l´ınea de ferrocarril  tiene 25 estaciones.  ¿Cu´antos billetes diferentes haber que imprimir  si cada billete lleva impresas  las estaciones  de origen y destino?

25 P 2= 25*24= 600 billetes diferentes.

12. A partir de 5 matem´aticos y 7 f´ısicos hay que constituir una  comisi´on de 2 matem´aticos y 3 f´ısicos. ¿De cu´antas formas podr´a hacerse si:

 a)   todos son elegibles;

Puesto  que todos son elegibles, existen  C5,2 = 10 grupos de 2 matem´aticos,  y C7,3 = 35 grupos  de 3 f´ısicos.  Luego hay un  total  de 10 · 35 = 350 comisiones posibles.

 b)   un f´ısico particular ha de estar  en esa comisi´on;

   Se fija uno de los f´ısicos,  luego existen  C5,2 = 10 grupos de 2  ma- tem´aticos,  y C6,2 = 15 grupos  de 3 f´ısicos.  As´ı,  se pueden  formar 10 · 15 = 150 comisiones.

 c)   dos matem´aticos concretos  no pueden  estar  juntos?

 Se excluye la u´nica posibilidad  de que el subgrupo de dos matem´aticos lo constituyan los dos que no pueden  estar  juntos,  por  lo que hay C5,2 − 1 = 9 grupos de 2 matem´aticos cumpliendo  la condici´on. Adem´as hay C7,3 = 7 · 6 · 5/ (3 · 2) = 35 grupos de 3 f´ısicos, por lo que el total  de comisiones que pueden  formarse  es 9 · 35 = 315.

13. Con 7 consonantes  y 5 vocales ¿cu´antas palabras  se pueden  formar que tengan  4 consonantes  distintas y 3 vocales distintas?

Podemos  formar un total  de C7,4 = 35 grupos de 4 consonantes  distintas y C5,3 = 10 grupos  de  3 vocales  distintas. Por  otra  parte,   para  cada una  de  las  35 · 10  = 350 maneras   de  escoger  7 letras  verificando  las condiciones  impuestas, hay 7 P7 = 7! = 5040  ordenaciones   posibles  de ´estas.  Se concluye  as´ı  que el total  de palabras  que pueden  formarse  es 35 · 10 · 7! = 350 · 5040 = 1764000.

14. Un alumno  tiene  que elegir 7 de las 10 preguntas de un examen.  ¿De cu´antas maneras  puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras  son obligatorias?

El orden  en que elija las preguntas, que adem´as no podr´an repetirse, es irrelevante.  As´ı, puede elegir las preguntas de C10,7 = 10·9·8/ (3 · 2) = 120 maneras.

Por otra parte,  si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre  las 6 restantes para  completar las 7 necesarias,  resultando un total de C6,3 = 6 · 5 · 4/ (3 · 2) = 20 maneras.

15. La tienda de regalos de un centro turístico tiene quince postales distintas ¿De cuantas maneras puede seleccionar una persona cuatro de estas postales como recuerdo?

N=15   r=4

15C₄ = 15!/ 4! (15-4)! = 136

16. Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?

N= 10   r= 3

10C₃ =10!/ 4! (10-4)!=120

17. Una tienda de ropa para hombre ofrece ocho clases de suéteres, seis clases de pantalones y diez clases de camisas ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar dos prendas de cada clase para una venta especial?

N=8, 6, 10   r=2

(8)(6)(10)C₂ = (28)(15)(45)=18 900

18.Una rejilla de doce huevos contiene un huevo roto ¿De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres de estos huevos y

a) sacar el huevo roto;   N=12    r=3

11C₂ . 1C₁ = 55. 1= 55

b) no sacar el huevo roto N=11   r=3

11C₃ = 11!/ 3!(11-3)! =165

19.Un estudiante de bachillerato que elabora un informe de Grecia antigua  ha encontrado quince libros sobre la materia en la librería de la escuela. Las reglas de la biblioteca le permiten sustraer sólo cinco libros a la vez. Encuentre el número de maneras en que el estudiante puede seleccionar cinco libros.

N=15   r=5

15C₅ = 15!/ 5!(15-5)!=3003

20. ¿De cuántas maneras distintas podría quedar el primer y segundo lugar de un torneo de fútbol, si participan los equipos: lobitos, jaguares, tigritos, y albañiles?

n= 4                  

r=2

4 P 2=12

21. Muestra de cuántas maneras podrían jugar 6 equipos.

n= 6

r= 2

6C2= 15

22. Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección?

N= 10   r= 4

10C ₄=10!/ 4! (10-4)!=210

23. 2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?

No entran todos los elementos.

No importa el orden.

No se repiten los elementos.