DEFINICIONES BÁSICAS
Experimento. Cualquier acción cuyo resultado se
registra como un dato.
Espacio Muestral ( S ). El conjunto de todos los posibles
resultados de un experimento.
Ejemplo. Supongamos el lanzar un dado al aire y
observaremos los resultados siguientes:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } → S = { 6 }
Ejemplo. En el lanzamiento de dos monedas tenemos;
S = { HH, HT, TH, TT } → S = { 4 }
Evento Simple ( E ). Cada uno de los posibles resultados
de un experimento.
En el caso del lanzamiento del dado, cada uno de los
posibles números en la cara del dado es un evento
simple.
Evento Compuesto. Los eventos A, B, C, etc., son
eventos compuestos si se componen de dos o más
eventos simples.
Ejemplos. A = { evento que salga un # impar }
A = { 1, 3, 5 }
B = { el número sea ≤ 4 } = { 1, 2, 3, 4 }
CONJUNTOS.
Operaciones con Conjuntos
Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto
C que está formado por los elementos de A, de B o de
ambos.
A ∪ B = { x / x , A, x , B o x , a ambos }
Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es
el conjunto C que está formado por los elementos que
pertenecen a ambos conjuntos simultanéamente.
A ∩ B = { x / x , A y x , B }
Complementos. El complemento de un conjunto A que
se denota por Ac
es el evento que consta de todos los
resultados en el espacio muestral que no están
contenidos en A.
Ac
= { x ∈ S x ∉ A }
Ac
+ A = S
Si dos conjuntos A y B no tienen elementos en común,
Su intersección será nula o vacía. En este caso A y B se
dicen eventos mutuamente excluyentes.
A ∩ B = { Φ }
PROBABILIDAD.
La probabilidad de un evento A,
P(A), es la medida del chance de que ese evento ocurra.
# de maneras que A puede ocurrir
P(A) = -------------------------------------------------
# total de resultados posibles
$a (eventos que corresponden a A )
P(A) = --------------------------------------------------
$ (eventos totales en S )
Reglas Básicas de Probabilidades.
1. Ley Fundamental de Probabilidad. Una probabilidad
siempre estará comprendida entre 0 y 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. P(S) = 1. La suma de las probabilidades de todos
los resultados posibles del espacio muestral es 1.
3. Ley del Complemento. Si Ac
es el complemento de A,
entonces,
P (Ac ) + P (A) = 1
P (Ac ) = 1 - P (A)
P (A) = 1 - P (Ac )
DIAGRAMAS DE VENN
Los diagramas de Venn son ilustraciones utilizadas en la teoría de conjuntos, para mostrar gráficamente la agrupación de elementos en conjuntos, representando cada conjunto mediante un círculo o un óvalo.
El principio fundamental en el proceso de contar ofrece un método general para contar el numero de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre carios conjuntos. Las técnicas de conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar.
¿De cuántas maneras pueden repartirse 3 premios a un conjunto de 10 personas, suponiendo que cada persona no puede obtener más de un premio?
Aplicando el principio fundamental del conteo, tenemos 10 personas que pueden recibir el primer
premio. Una vez que éste ha sido entregado, restan 9 personas para recibir el segundo, y
posteriormente quedarán 8 personas para el tercer premio. De ahí que el número de maneras
distintas de repartir los tres premios.
n
10 x 9 x 8 = 720
¿Cuántas placas de automóvil se pueden hacer utilizando dos letras seguidas de tres cifras? No se
admiten repeticiones.
26 x 25 x 10 x 9 x 8 = 468000
n un número entero positivo, el producto n (n-1) (n-2)...3 x 2 x 1 se llama factorial de n.
El símbolo ! se lee factorial y es el producto resultante de todos los enteros positivos de 1 a n; es decir, sea
n
5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Por definición 0! = 1
Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados.
Si, sin embargo, hay un gran número de posibles resultados tales como el número de niños y niñas por familias con cinco hijos, sería tedioso listar y contar todas las posibilidades. Las posibilidades serían, 5 niños, 4 niños y 1 niña, 3 niños y 2 niñas, 2 niños y 3 niñas, etc.
Para facilitar el conteo examinaremos tres técnicas:
* La técnica de la multiplicación
* La tecnica aditiva
* La tecnica de la suma o Adicion
* La tecnica de la suma o Adicion
* La técnica de la permutación
* La técnica de la combinación.
TÉCNICAS DE CONTEO
PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION
Si se desea realizar una actividad que consta de r pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar puede ser llevado a cabo de N1 maneras o formas, el segundo paso de N2 maneras o formas y el r-ésimo paso de Nr maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de. El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, uno tras otro. Si un evento E1 puede suceder de n1 maneras diferentes, el evento E2 puede ocurrir de n2 maneras diferentes, y así sucesivamente hasta el evento Ep el cual puede ocurrir de np maneras diferentes, entonces el total de maneras distintas en que puede suceder el evento “ocurren E1 y E2…..y Ep” es igual a producto.
N1 x N2 x ..........x Nr maneras o formas
Ejemplo:
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
Se dispone de 3 vías para viajar de C1 a C2 y de 4 vías para viajar de C2 a C1. ¿De cuántas formas se puede organizar el viaje de ida y vuelta de C1 a C2.Respuesta: (3)(4)=12
PRINCIPIO ADITIVO.
Si se desea llevar a efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para ser realizada, donde la primera de esas alternativas puede ser realizada de M maneras o formas, la segunda alternativa puede realizarse de N maneras o formas ..... y la última de las alternativas puede ser realizada de W maneras o formas, entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de,
M + N + .........+ W maneras o formas
Ejemplos:
1) Una persona desea comprar una lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric, cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro colores diferentes y puede ser automática o semiautomática, mientras que la lavadora de la marca E, se presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes y puede ser automática o semiautomática y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes y solo hay semiautomática. ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora?
Solución:
M = Número de maneras de seleccionar una lavadora Whirpool
N = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca Easy
W = Número de maneras de seleccionar una lavadora de la marca General Electric
M = 2 x 4 x 2 = 16 maneras
N = 3 x 2 x 2 = 12 maneras
W = 1 x 2 x 1 = 2 maneras
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneras de seleccionar una lavadora
PRINCIPIO DE LA SUMA O ADICCION
Si una primera operación puede realizarse de m maneras y una segunda operación de n maneras, entonces una operación o la otra pueden efectuarse de:
m+n maneras.
Ejemplo:
Una pareja que se tiene que casar, junta dinero para el enganche de su casa, en el fraccionamiento lomas de la presa le ofrecen un modelo económico ó un condominio, en el fraccionamiento Playas le ofrecen un modelo económico como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?
PRESA PLAYAS
Económico Residencial
Condominio Californiano
Provenzal
m=2 n=3
2+3= 5 maneras
TEORÍA DE CONJUNTOS
1. SeanHallar A∪ B, A∪ C, A∪ D.
A∪ B= {{1,2,3}, 1,2,3}
A∪ C= {{1,2,3}, 1,2,3,4}
A∪ D= {{1,2,3}, 1{,2,3},5}
2. Se hizo una encuesta a personas sobre preferencias respecto a dos revistas A y B. se observa que los que leen las dos revistas son el doble de los que leen solo A, el triple de los que leen sólo B y el cuádruplo de los que no leen ninguna de las dos revistas. ¿cuántas personas leen A?
U= 50
6x + 12x + 4x + 3x= 50 x=2
n(A)= 18(2)
n(A)= 36
3. A una ceremonia asistieron 24 señoritas con cartera, 28 varones con corbata, 40 portaban casaca, 17 varones con corbata no tenían casaca, 9 señoritas portaban casaca, pero no tenían cartera. ¿Cuántos varones con casaca no llevaron corbata, si 16 señoritas no llevaron cartera ni casaca y 28 señoritas no llevaron casaca?
H= U= M=
40= 11 + 9 + 12 + x
x=8
4. Dado los conjuntos A; B; C, contenidos en el universo de 98 elementos, tal que:
n(A - B)= 21
n(B - C)= 25
n(C - A)= 32
3n(A∩B∩C)= n(A∪B∪C)'
Hallar: (A∩B∩C)´
98= 4x + 21 + 25 + 32
20= 4x
x=5
Piden: (A∩B∩C)´
[U-(A∩B∩C) ]= 98-5=93
5. En un condominio de 100 personas: 85 son casados, 70 son abonados de teléfono, 75 tienen bicicleta y 80 son empresarios. ¿Cuál es el mínimo número de personas que al mismo tiempo son casados, poseen teléfono, tienen bicicleta y son empresarios?
=10
COMBINACIONES Y PERMUTACIONES
6.¿De cu´antas maneras
pueden
sentarse 10 personas en un banco si hay 4 sitios
disponibles?
10P4= 5040 maneras de sentarse.
7.En una clase
de 10 alumnos van
a distribuirse 3
premios. Averiguar
de cuántos modos puede hacerse si:
Pueden darse dos casos uno si
hay 10p3 = 10 · 9 · 8 = 720 maneras de distribuir los premios
si
estos son diferentes; en el caso de que los premios sean
iguales, pueden distribuirse de C10,3 = 10 · 9 · 8/6 = 120 maneras.
8. Hay que colocar a 5 hombres
y 4 mujeres en una
fila de modo que las mujeres
ocupen los lugares
pares. ¿De cu´antas maneras puede
hacerse?
Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay
4 posiciones
pares
(que deben ser ocupadas por las 4 mujeres)
y 5 posiciones
impares (para los 5 hombres).
P4 · P5 = 4! · 5! = 2880 maneras.
9. ¿Cuantos nu´meros de 4 d´ıgitos se pueden formar
con las cifras 0,1,. . . ,9
a) permitiendo repeticiones;
Puesto que debe formarse un nu´mero de 4 d´ıgitos, el primero de estos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para el primer d´ıgito y diez para cada uno de los tres d´ıgitos restantes, obteni´endose un total de 9 · 103 = 9000 nu´meros posibles.
b). sin repeticiones;
Al igual que en el apartado anterior, el primer d´ıgito no puede ser cero. Como adem´as no se permiten repeticiones, hay nueve posibili- dades para el segundo d´ıgito: el cero y las ocho no escogidas para el primer d´ıgito. Por tanto, se pueden formar 92 · 8 · 7 = 4536 nu´meros.
c) si el u´ltimo d´ıgito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?
Fijamos el u´ltimo d´ıgito y, como no puede haber repeticiones, se obtiene un total de 9 · 8 · 7 · 1 = 504 nu´meros.
10.En un grupo de 10 amigos,
¿cu´antas distribuciones de
sus fechas de cumplean˜os pueden darse
al an˜o?
Considerando que el an˜o tiene 365 d´ıas y que
puede
darse
el caso de que varias
personas cumplan en la misma fecha,
el nu´mero de maneras distintas es
V R365,10
= 36510 .
11.Una l´ınea de ferrocarril
tiene 25 estaciones.
¿Cu´antos billetes
diferentes haber que imprimir si cada billete
lleva impresas las estaciones
de origen y destino?
25 P 2= 25*24= 600 billetes diferentes.
12. A partir de
5 matem´aticos y 7 f´ısicos hay que constituir una
comisi´on de 2 matem´aticos y 3 f´ısicos. ¿De cu´antas formas podr´a hacerse si:
a) todos son elegibles;
Puesto que
todos son elegibles, existen C5,2 = 10 grupos de 2 matem´aticos, y C7,3 = 35 grupos de 3 f´ısicos. Luego
hay un total
de 10 · 35 = 350 comisiones
posibles.
b) un f´ısico particular ha de estar
en esa comisi´on;
Se fija uno de los f´ısicos, luego
existen C5,2 = 10 grupos de 2 ma- tem´aticos, y C6,2 = 15 grupos de 3 f´ısicos. As´ı, se pueden
formar 10 · 15 = 150 comisiones.
c) dos matem´aticos concretos no pueden estar juntos?
Se excluye la u´nica posibilidad
de que el subgrupo de dos matem´aticos
lo constituyan los dos que no pueden
estar
juntos, por
lo que hay C5,2 − 1 = 9 grupos de 2 matem´aticos cumpliendo la condici´on. Adem´as hay C7,3 = 7 · 6 · 5/ (3 · 2) = 35 grupos de 3 f´ısicos, por lo que el total
de comisiones que pueden formarse
es 9 · 35 = 315.
13. Con 7 consonantes y 5 vocales ¿cu´antas palabras
se pueden formar
que tengan 4 consonantes
distintas y
3 vocales distintas?
Podemos formar
un total de C7,4 = 35 grupos de 4 consonantes
distintas y C5,3 = 10 grupos de 3 vocales
distintas. Por
otra
parte, para
cada una de las 35 · 10 = 350 maneras de escoger
7 letras verificando las condiciones
impuestas, hay 7 P7 = 7! = 5040
ordenaciones posibles
de ´estas. Se concluye as´ı que el total
de palabras que
pueden formarse es 35 · 10 · 7! = 350 · 5040 = 1764000.
14. Un alumno tiene que
elegir 7 de las 10 preguntas de
un examen. ¿De cu´antas maneras
puede elegirlas? ¿Y si las 4 primeras son
obligatorias?
El orden
en que elija las preguntas, que adem´as no podr´an repetirse, es irrelevante. As´ı, puede elegir las preguntas de C10,7 = 10·9·8/ (3 · 2) = 120
maneras.
Por otra parte, si las 4 primeras son obligatorias, debe escoger 3 preguntas entre
las 6 restantes para completar las 7 necesarias,
resultando un total de C6,3 = 6 · 5 · 4/ (3 · 2) = 20 maneras.
15. La tienda de regalos de un centro turístico tiene quince postales distintas ¿De cuantas maneras puede seleccionar una persona cuatro de estas postales como recuerdo?
N=15 r=4
15C4 = 15!/ 4! (15-4)! = 136
16. Una pizzería ofrece diez ingredientes adicionales para su pizza ¿De cuántas maneras un cliente puede seleccionar tres ingredientes adicionales para su pizza?
N= 10 r= 3
10C3 =10!/ 4! (10-4)!=120
17. Una tienda de ropa para hombre ofrece ocho clases de suéteres, seis clases de pantalones y diez clases de camisas ¿De cuantas maneras se pueden seleccionar dos prendas de cada clase para una venta especial?
N=8, 6, 10 r=2
(8)(6)(10)C2 = (28)(15)(45)=18 900
18.Una rejilla de doce huevos contiene un huevo roto ¿De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres de estos huevos y
a) sacar el huevo roto; N=12 r=3
11C2 . 1C1 = 55. 1= 55
b) no sacar el huevo roto N=11 r=3
11C3 = 11!/ 3!(11-3)! =165
19.Un estudiante de bachillerato que elabora un informe de Grecia antigua ha encontrado quince libros sobre la materia en la librería de la escuela. Las reglas de la biblioteca le permiten sustraer sólo cinco libros a la vez. Encuentre el número de maneras en que el estudiante puede seleccionar cinco libros.
N=15 r=5
15C5 = 15!/ 5!(15-5)!=3003
20. ¿De cuántas maneras distintas podría quedar el primer y segundo lugar de un torneo de fútbol, si participan los equipos: lobitos, jaguares, tigritos, y albañiles?
n= 4
r=2
4 P 2=12
21. Muestra de cuántas maneras podrían jugar 6 equipos.
n= 6
r= 2
6C2= 15
22. Una librería tiene una venta en que un cliente obtiene precio especial si compra cuatro de los diez best-sellers actuales ¿De cuántas maneras un cliente puede hacer tal selección?
N= 10 r= 4
10C 4=10!/ 4! (10-4)!=210
23. 2. ¿De cuántas formas pueden mezclarse los siete colores del arco iris tomándolos de tres en tres?
No entran
todos los elementos.
No importa el
orden.
No se repiten
los elementos.
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