La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.
En los ejercicios 1-7 determine, si los experimentos son binomiales. Para los que no sean
binomiales, identifique al menos un requisito que no se satisfaga.
1. Lanzar un dado 50 veces.
No es binomial porque se tienen más de dos resultados posibles
2. Lanzar una moneda predispuesta 200 veces.
Es binomial
3. Encuestar 1000 consumidores estadounidenses preguntándole a cada uno si reconoce la
marca NiKe.
Es binomial
4. Girar una ruleta 500 veces.
No es binomial porque se tienen más de dos resultados posibles
5. Encuestar 1067 personas preguntándole a cada una si votó en las últimas elecciones.
Es binomial
6. Muestrear (sin reemplazo) un grupo de 12 llantas diferentes seleccionado al azar de un
población de 30 llantas, cinco de las cuales tienen defectos.
No es binomial ya que la probabilidad de éxito p no es constante
En los ejercicios 7 -11, determine la probabilidad solicitada.
7. Mars, Inc., asegura que el 20% de sus dulces M&M lisos son rojos. Calcule la probabilidad
de que si se escogen 15 dulces M&M lisos al azar, exactamente el 20% (tres dulces) sean
rojos.
n = 15; p =0.20
P(X = 3) = f(3) = 0.2502
8. Según el Departamento de justicia de Estados Unidos, el 5% de todos los hogares
estadounidenses sufrió al menos un robo el año anterior, pero la policía de Newport
informa que una comunidad de 15 hogares sufrió cuatro robos el año anterior. Después de
calcular la probabilidad de tener cuatro o más robos en una comunidad de 15 hogares,
¿cree usted que esa comunidad simplemente haya tenido mala suerte?
n = 15; p =0.05
P(X > 4) = Σ4
15
f(x) = 0.0055
El evento es tan raro como para atribuírselo al azar. Lo más probable es que haya
problemas de seguridad.
9. Se sabe que el 25% de las personas que asisten a cierto tipo de evento deportivo, poseen
abono de temporada. Si se toma una muestra al azar de 10 aficionados, ¿cuál es la
probabilidad de encontrar :
a. exactamente 2,
P(X = 12) = f(10) = 0.2816
b. a lo más 4,
P(X < 4) =Σ0
4 f(x) = = 0.9219
c. al menos 5,
P(X > 5) = Σ5
10 f(x) = 0.0781
d. no más de 4 pero no menos de 1 que posean abono de temporada?
P(1 < X < 4) = Σ1
4 f(x)= 0.8656
10. Un reporte de periódico afirma que el 45% de los ciudadanos de la población X se opone a
la construcción de un centro comercial en una área designada como reserva ecológica. Si se encuesta a un grupo de 25 personas de manera aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de
que el número de personas que se oponen a tal construcción sea :
n = 25; p =0.45
a. al menos 10?
P(X > 10) = Σ10
25 f(x) = 0.7576
b. no más de 15?
P(X < 15) = Σ0
15 f(x) = 0.95604
c. menos de 10?
P(X < 10) = Σ0
9 f(x) = 0.2424
d. a lo más 17 pero al menos 10?
P(10 < X < 17) = Σ10
17 f(x) = 0.7518
11. El 85 % de los estudiantes de cierta universidad son estudiantes de tiempo completo. Si se
toma una muestra al azar de 25 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que :
n = 25; p =0.85
a. a lo más 20 sean estudiantes de tiempo completo?
P(X < 20) = Σ0
20 f(x) = 0.3179
b. al menos 10 sean estudiantes de tiempo completo?
P(X > 10) = Σ10
25 f(x) = 1.0000
c. menos de 15 sean de tiempo completo?
P(X < 15) = Σ0
14 f(x) = 0.0005
12. Se sabe que en promedio el número de imperfecciones que se puede encontrar en una
botella de vidrio es, en promedio, de 3, Si se asume una distribución de Poisson, ¿Cuál es
la probabilidad de en una botella de vidrio tenga :
µ = 3
a. ningún defecto?
P(X = 0) = f(0) = 0.0498
b. a lo más 5 defectos?
P(X < 5) = Σ0
5 f(x) = 0.91610
c. más de 4 defectos?
P(X > 4) = Σ5
∞
f(x) = 1 - Σ0
4 f(x) = 1 -0.8153 = 0.1847
d. no menos de 3 pero no más de 7 defectos?
P(3 < X < 7) = Σ3
7 f(x) = 0.5649
13. El número de accidentes que ocurre en cierto crucero al día es, en promedio, 10. Si se
selecciona un día al azar y se asume una distribución de Poisson, calcular la probabilidad
de que el número de accidentes sean :
µ = 10
a. al menos 10?
P(X > 10) = Σ10
∞
f(x) = 1 - Σ0
9 f(x) = 1 – 0.4579 = 0.5421
b. menos de 7?
P(X < 7) = Σ0
6 f(x) = 0.1301
c. no menos de 5 pero no más de 9?
P(5 < X < 9) = Σ5
9 f(x) = 0.4286
d. mas de 8?
P(X > 8) = Σ9
∞
f(x) = 1 - Σ0
8 f(x) = 1 – 0.3328 = 0.6672
14. Cierto conmutador recibe, durante las horas de oficina, en promedio, 5 llamadas por cada 2
minutos. Si se supone que sigue una distribución de Poisson, calcular la probabilidad de
que en un intervalo de 2 minutos dentro de las horas de oficina, el conmutador reciba:
µ = 5
a. a lo sumo 7 llamadas.
P(X < 7) = Σ0
5 f(x) = 0.8666
b. a lo menos 3 llamadas.
P(X > 3) = Σ3
∞
f(x) = 1 - Σ0
2 f(x) = 1 – 0.1246 = 0.8754
c. no más de 5 pero no menos de 1 llamadas.
P(1 < X < 5) = Σ1
5 f(x) = 0.6093
15. Se sabe que el número de accidentes mensuales que ocurre en una empresa es, en
promedio, 4. Si se sabe que se ajustan a una distribución de Poisson, ¿cuál es la
probabilidad de que en un mes determinado ocurran en tal empresa:
µ = 4
a. a lo menos 7 accidentes?
P(X > 7) = Σ7
∞
f(x) = 1 - Σ0
6 f(x) = 1 – 0.8893 = 0.1107
b. A lo más de 3 accidentes?
P(X < 3) = Σ0
3
f(x) = 0.4335
c. no mas de 8 pero no menos de 2 accidentes?
P(2 < X < 8) = Σ2
8 f(x) = 0.8871
16. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:
a) Las cinco personas.
B(5,
2/3) p = 2/3 q = 1/3
P(X)= (5/5)(2/3)5=0.132
17. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
b) ¿Y cómo máximo 2?
a) B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
b)
18. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.
B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5
19. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?
B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
20. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?
a) Ningún paciente tenga efectos secundarios
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97
b) Al menos dos tengan efectos secundarios.
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?
Solución:
a) N = 9+6 =15 total de tabletas
a = 6 tabletas de narcótico
n = 3 tabletas seleccionadas
x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas
p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)
otra forma de resolver;
p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)
b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)
2. a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?
a) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
b) N = 9 total de estudiantes
a = 4 estudiantes menores de edad
n = 5 identificaciones seleccionadas
x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad
x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad
3. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?
Solución:
a) N = 10 proyectiles en total
a = 7 proyectiles que explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara
b) N = 10 proyectiles en total
a = 3 proyectiles que no explotan
n = 4 proyectiles seleccionados
x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan
p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =
4. En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.
¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20
n=tamaño de muestra=12
A=éxitos en la población=rosas=8
k=éxitos en la muestra=rosas=3
Sustituimos los valores en la fórmula general:
Realizando cálculos , obtenemos:
5.Calcular la media o valor esperado y la varianza utilizando un método
relacionado con las distribuciones de probabilidad.
Solución:
Se trata de una distribución
hipergeométrica por lo siguiente: i) Solo puede existir un número finito de ensayos
(máximo 7 selecciones), por cuanto se supone que cada pregunta seleccionada no
puede ser reemplazada. ii) Existen dos resultados posibles en cada selección a
saber: que la pregunta seleccionada haya sido formulada en años anteriores o
no. Estos dos resultados son opuestos entre sí. iii) Los ensayos son
dependientes entre sí, porque la probabilidad de que una pregunta seleccionada haya
sido formulada en años anteriores, depende de lo que haya sucedido en las
anteriores selecciones.
1)
µ= E(X) = n.p =3x3/7 = 1.29
2)
σ^2 = (N-n)/(n-1) n.p.q=(7-3)/(3-1) 3 3/7 .4/7=1.47
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES
ALEATORIAS DISCRETAS
ESPACIO MUESTRAL. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico
denotado por “S” o “Ω ”
VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la
duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.
VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.
Una vaiable aleatoria se puede clasificar en:
Variable aleatoria discreta.
Variable aleatoria continua.
Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.
La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.
El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.
Número de circuitos en una computadora.
El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos
Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.
La estatura de un alumno de un grupo escolar.
El peso en gramos de una moneda.
La edad de un hijo de familia.
Las dimensiones de un vehículo.
DISTRIBUCIONES
Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos este pueden clasificar en:
CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA
1. Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
m = media de la distribución
E(x) = valor esperado de x
xi = valores que toma la variable
p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x
- Desviación estándar. Para determinar la desviación estándar de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
s = desviación estándar
m = media o valor esperado de x
xi = valores que toma la variable x
p(xi) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x
Ejemplos
3.Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.
Solución:
Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestral d como se muestra a continuación;
N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso
S = sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso
N
N
S
N
N
S
S
N
1er auto N
S
S
N
2o auto S
3o S
d = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}
x = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de uso
x = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso
p(x=0)=p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)=0.000008
p(x=1)=p(NSS, SNS, SSN)=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)=
=0.001176
p(x=2)=p(NNS,NSN,SNN)=(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624
p(NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192
Por tanto la media o valor esperado se determina de la siguiente manera:
m =E(x) = 
(0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)=
=0.0+0.001176+0.115248+2.823576=2.94@ 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso
La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso.
s=
= 
=
±0.2497@±0.0 autos que no sufren algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso.
Interpretación:
En este experimento se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso y la variabilidad de este experimento es de cero.
Nota:
La media y la desviación estándar se redondean a un valor entero ya que son la media y desviación de una distribución de probabilidad discreta.
4.Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar.
Solución:
También haciendo uso de in diagrama de árbol, se obtiene el espacio muestral d
a)
D = objeto defectuoso
N = objeto no defectuoso
d={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}
Este espacio muestral ha sido obtenido haciendo uso de un diagrama de árbol,
x = Variable que nos define el número de objetos defectuosos encontrados
x = 0, 1, 2 o 3 objetos defectuosos
p(x=0)=p(NNN)=(0.9)(0.9(0.9)=0.729
p(x=1)=p(DNN, NDN, NND)=(0.1)(0.9)(0.9)+(0.9)(0.1)(0.9)+(0.9)(0.9)(0.1)=0.243
p(x=2)=p(DDN, DND, NDD)=(0.1)(0.1)(0.9)+(0.1)(0.9)(0.1)+(0.9)(0.1)(0.1)=0.027
p(x=3)=p(DDD)=(0.1)(0.1)(0.1)=0.001
Distribución de probabilidad
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
P(x)
|
0.729
|
0.243
|
0.027
|
0.001
|
b) 
(0)(0.729)+(1)(0.243)+(2)(0.027)+(3)(0.001)=
= 0.0 + 0.243 + 0.054 + 0.003 = 0.3 @0 productos defectuosos
Interpretación:
Se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso.
=± 0.6 =± 1 producto defectuoso
Interpretación:
En este experimento se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso, pero los resultados de este experimento pueden variar en ± 1 producto defectuoso, por lo que al inspeccionar los 3 productos el numero de productos defectuosos puede variar desde –1 producto defectuoso, hasta 1 producto defectuoso, pero, ¿es posible obtener –1 producto defectuoso?, claro que esto no puede ocurrir, luego el número de productos defectuosos en el experimento variará de 0 a 1 producto defectuoso solamente.
5.Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar.
Solución:
Se obtiene el espacio muestral d, de la misma forma que se ha hecho en los ejemplos anteriores;
B = se puede el pozo que se perfora
N = no se puede beneficiar el pozo que se perfora
d= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}
x = variable que nos define el número de pozos que se pueden beneficiar
x = 0, 1, 2 o 3 pozos que se pueden beneficiar
p’(x = 0) = p(NNN) = (0.7)(0.7)(0.7)= 0.343
p(x = 1) = p(BNN, NBN, NNB) = (0.3)(0.7)(0.7)(3)=0.441
p(x = 2) = p(BBN, BNB, NBB) = (0.3)(0.3)(0.7)(3)=0.189
p(x = 3) = p(BBB) =(0.3)(0.3)(0.3)= 0.027
@1 pozo beneficiado
Interpretación:
Se espera que solo 1 de los tres pozos perforados sea el que pueda ser beneficiado.
Interpretación:
La cantidad esperada de pozos que se pueden beneficiar puede variar en 1 ± 1 pozo, esto es la cantidad de pozos que se pueden beneficiar puede variar de 0 a 2 pozos.
6.La distribución de probabilidad de x , el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme , es
x
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
p(x)
|
0.41
|
0.37
|
0.16
|
0.05
|
0.01
|
a) Determine la distribución de probabilidad acumulada de x; P(x).
b) Determine el número esperado de defectos por cada 10 metros de tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme y la desviación estándar del número de defectos por cada 10 metros de tela .....
c) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren como máximo 2 defectos.
d) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren por lo menos 2 defectos.
Solución:
a)
X
|
0
|
1
|
2
|
3
|
4
|
p(x)
|
0.41
|
0.37
|
0.16
|
0.05
|
0.01
|
P(x)
|
0.41
|
0.78
|
0.94
|
0.99
|
1.0
|
b) 
@ 1 defecto
Interpretación:0.16, 0.05 ,0.01
Se espera que por cada 10 metros de tela se encuentre un defecto.
Interpretación:
El número de defectos esperado puede variar en ± 1 defecto, es decir que el número de defectos esperado por cada 10 metros de tela puede variar de 0 a 2.
c) p(x £ 2)= p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) = 0.41+0.37+0.16 = 0.94
d) p(x ³ 2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) = 0.16 + 0.05 + 0.01= 0.22
7. De los usuarios de un centro de documentaci´on, el 23 % pertenece al grupo I de edad (menos de 20 an˜os). Supongamos, tambi´en, que la poblaci´on es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Realizamos el experimento que consiste en elegir al azar tres usuarios del centro de documentaci´on y observar la variable aleatoria X =nu´mero de usuarios que pertenecen al grupo I de edad, entre los tres elegidos al azar.
a) Hallar el conjunto de los posibles resultados de la variable aleatoria X , as´ı como su funcion de probabilidad.
b) Hallar la probabilidad de que el nu´mero de usuarios que pertenecen al grupo I sea menor que dos.
c) Determinar la funcion de distribuci´on de X y hacer su representaci´on gr´afica.
d) Calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de X .
. X ≡ B(n = 3,
p = 0023)
a) La funcion de probabilidad de X es:
P (X
= k) =
n!
k!(n − k)!
pk qn−k para
k = 0,
1, 2, 3
siendo n = 3, p = 0023 y q = 1 − p = 0077.
Expl´ıcitamente, la funcion
de probabilidad viene dada en la siguiente
tabla:
xi
|
pi = P (X = xi )
|
0
1
2
3
|
00456533
00409101
00122199
00012167
|
b) P (X < 2) = 00865634
c) La funci´on de distribuci´on, para
todo valor de t, es
la siguiente:
0 si t < 0
FX (t) = 00865634 si
1 ≤ t < 2
0
0 987833 si
2 ≤ t < 3
1 si t ≥ 3
Su representacion
grafica es similar
al gr´afico de frecuencias acumuladas relativas de una variable estad´ıstica cuantitativa discreta (con datos no agrupados
en intervalos).
d)
Media= µ = n
p = 3
· 0023 = 0069 usuarios, Varianza= σ2 = n p q = 3
· 0023 · 0077 = 005313
usuarios2, Desviacion t´ıpica= σ = 007289 usuarios.
8. De un total de 500 libros, 50 son cient´ıficos. Extraemos al azar un primer libro entre los 500 y lo reponemos en la poblaci´on de libros
antes de realizar una nueva extraccion;
volvemos a extraer al azar
un segundo
libro entre los 500 y lo reponemos antes
de hacer una
nueva extraccion; . . .; finalmente, extraemos un quinto
libro entre
los 500. Consideramos
la variable
aleatoria X =nu´mero de libros cient´ıficos, entre
los 5 elegidos al azar con reposici´on.
a) Hallar la funcion de probabilidad de X y hacer su representaci´on grafica.
b) Determinar la funcion de distribuci´on de X y hacer su representaci´on gr´afica.
c) A partir de la funci´on de distribuci´on de X , calcular la probabilidad de que el nu´mero de libros cient´ıficos sea mayor que 3.
d) Calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de X .
. X ≡ B(n = 5, p = 001)
a) La funcion de probabilidad de X es:
P (X
= k) =
n!
k!(n − k)!
pk qn−k para
k = 0,
1, 2, 3, 4, 5
siendo n = 5, p = 001 y q = 1 − p = 009.
Expl´ıcitamente, la funcion
de probabilidad viene dada en la siguiente
tabla:
xi
|
pi = P (X = xi )
|
0
1
2
3
4
5
|
0059049
0032805
000729
000081
0000045
0000001
|
Su representacion grafica es similar al diagrama
de barras de frecuencias relativas
de una variable estad´ıstica cuantitativa discreta
(con datos no agrupados
en intervalos).
Dra. Josefa
Mar´ın Fern´andez. Grado en Informaci´on y Documentacion. Estad´ıstica. Tema 5 9
b) La funci´on de distribuci´on, para todo valor de t, es la siguiente:
0 si
t < 0
FX (t) = 0099144 si
2 ≤ t < 3
0
0 99954 si
3 ≤ t < 4
0
0 99999
si
4 ≤ t < 5
1 si t ≥ 5
Su representacion grafica es similar al gr´afico de frecuencias acumuladas
relativas de una variable estad´ıstica cuantitativa discreta (con datos no agrupados
en intervalos).
c)
P (X > 3)
= 1 − FX (3) = 0000046.
d) Media=
µ = n p = 5 · 001 = 005 libros cient´ıficos, Varianza= σ2 = n p q = 5 · 001 · 009 = 0045
(libros cient´ıficos)2, Desviacion t´ıpica= σ = 006708 libros cient´ıficos.
9.
. Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan
en una biblioteca escolar
se devuelven con retraso.
Se realiza el experimento
que consiste en observar si la devoluci´on de cada libro
se ha hecho con retraso
o no. Se eligen al azar 12 libros prestados.
a) ¿Cual es la probabilidad de que se devuelvan
con retraso 2 libros?
b) ¿Cual es la probabilidad de que se devuelvan
con retraso mas
de 2 libros?
a) P (X = 2) = FX (2) − FX (1) = 00 070206.
b) P (X > 2)
= 1 − FX (2) = 00010729.
.
10. Supongamos que el 1 % de la poblaci´on de todos los usuarios de un centro de docu- mentaci´on tiene menos de 10 an˜os. Supongamos,
tambi´en, que la poblaci´on es suficientemente grande como para
que al elegir un usuario
al azar y apartarlo, no se altere
dicho porcentaje. Se eligen al azar 15 usuarios
de dicho centro
de documentaci´on. Calcular:
a) La probabilidad de que ninguno
de ellos tenga
menos de 10 an˜os.
b) La probabilidad de que tengan
menos de 10 an˜os 3 usuarios o menos. c) La probabilidad de
que tengan menos de 10 an˜os menos de 3 usuarios.
d) La probabilidad de
que tengan menos de 10 an˜os mas de 2 usuarios.
e)
La probabilidad de
que tengan menos de 10 an˜os 2 usuarios o mas.
f ) La probabilidad de que el nu´mero de usuarios con menos de 10 an˜os est´e comprendida entre 2 (incluido)
y 10 (incluido).
g) El nu´mero medio de usuarios
con menos de 10 an˜os
a) P (X
= 0) = FX (0) = 00860058. b) P (X ≤ 3) = FX (3) = 00999988. c) P (X < 3)
= FX (2) = 00999584.
d) P (X
> 2) = 1
− FX (2) = 00000416.
e)
P (X ≥ 2) = 1 − FX (1) = 00000963.
f ) P (2 ≤ X ≤ 10) = FX (10) − FX (1) = 00 000963.
g) E(X ) = np = 0015 usuarios
con menos de 10 an˜os.
CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA
1.Media o valor esperado de x.- Para calcular la media de una distribución de probabilidad continua se utiliza la siguiente fórmula:
Donde:
m = E(x) = media o valor esperado de la distribución
x = variable aleatoria continua
f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad
2.Desviación estándar.- La fórmula para determinar la desviación estándar de una distribución continua es;
luego:
Ejemplos:
- Para la siguiente función,
cuando 0£ x £ 3 , f(x) = 0 para cualquier otro valor
a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.
b) Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar.
c) Determine la probabilidad de que 1£ x < 2.
Solución:
a) Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado.
1. x ® sí es una variable continua porque puede tomar cualquier valor entre 0 y 3
2. f(x)³ 0, lo que se comprueba si damos diferentes valores a x para ver que valores toma f(x), dándonos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores mayores o iguales a cero.
x
|
f(x)
|
0
|
0.0
|
0.5
|
0.02778
|
1.0
|
0.11111
|
1.4
|
0.21778
|
2.1
|
0.49
|
2.7
|
0.81
|
3.0
|
1.0
|
3. Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:
A= área bajo la función
Con las operaciones anteriores comprobamos que la función 
sí nos define una distribución de probabilidad continua.
b) Cálculo de media y desviación estándar.
Las barras
nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.
c) 
La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.
Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x.
- Suponga que el error en la temperatura de reacción, en oC, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad:
, para -1< x < 2 y f(x) = 0 en cualquier otro caso
a) Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de probabilidad continua.
b) Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad.
c) Encuentre la probabilidad de que 0< x £ 1.
Solución:
a) Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe de ser 1, esto se comprueba de la siguiente manera:
b) 
c) 
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Por lo tanto, P(primo)= casos favorables/ casos totales= 3/6= 1/2.
