Probabilidad y Estadística: Bloque III

PROBABILIDAD CONDICIONAL

1.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

Solución:

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A

B)= 1/4. Determinar:

2.- Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A B) = 1/5. Determinar:

Solución:

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/3, p(B) = 1/4, p(A

B) =

1/5. Determinar:

3.- En un centro escolar los alumnos pueden optar por cursar como lengua extranjera inglés o francés. En un determinado curso, el 90% de los alumnos estudia inglés y el resto francés. El 30% de los que estudian inglés son chicos y de los que estudian francés son chicos el 40%. El elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?

Solución:

p(chica) = 0.9 · 0.7 + 0.1 · 0.6 = 0.69

4.- De una baraja de 48 cartas se extrae simultáneamente dos de ellas. Calcular la probabilidad de que:

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

Solución:

1 Las dos sean copas.

2Al menos una sea copas.

3Una sea copa y la otra espada.

5.- Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a la materia del mismo. Éste se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando que el alumno escoja uno de los dos para ser examinado del mismo. Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

Solución:

6.- Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudie francés?

2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

Solución:

1.-

2¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudie francés?

7.- Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

Solución:

1 Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

2Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

3Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

4Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

8.- Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar por lo menos un niño.

4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Solución:

1 Seleccionar tres niños.

2Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

3Seleccionar por lo menos un niño.

4Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

9.- Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

Solución:

10.- Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bola y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

Solución:

1 Probabilidad de que la segunda bola sea verde.

2Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color.

11.- En una clase en la que todos practican algún deporte, el 60% de los alumnos juega al fútbol o al baloncesto y el 10% practica ambos deportes. Si además hay un 60% que no juega al fútbol, cuál será la probabilidad de que escogido al azar un alumno de la clase:

1 Juegue sólo al fútbol.

2Juegue sólo al baloncesto.

3Practique uno solo de los deportes.

4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

Solución:

1 Juegue sólo al fútbol.

2Juegue sólo al baloncesto.

3Practique uno solo de los deportes.

4No juegue ni al fútbol ni al baloncesto.

12.- En una ciudad, el 40% de la población tiene cabellos castaños, el 25% tiene ojos castaños y el 15% tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar:

1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

Solución:

1 Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga también ojos castaños?

2Si tiene ojos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos castaños?

3¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos ni ojos castaños?

13.- En un aula hay 100 alumnos, de los cuales: 40 son hombres, 30 usan gafas, y

15 son varones y usan gafas. Si seleccionamos al azar un alumno de dicho curso:

1 ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer y no use gafas?

2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

Solución:

1 la probabilidad de que sea mujer y no use gafas es:

2Si sabemos que el alumno seleccionado no usa gafas, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?

14.- Disponemos de dos urnas: la urna A contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas, la urna B contiene 4 bolas rojas y 8 bolas blancas. Se lanza un dado, si aparece un número menor que 3; nos vamos a la urna A; si el resultado es 3 ó más, nos vamos a la urna B. A continuación extraemos una bola. Se pide:

1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

2Probabilidad de que la bola sea blanca.

Solución:

1 Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna B.

2Probabilidad de que la bola sea blanca.

15.- Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es 0.9 y, en caso contrario, de 0.5.

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

Solución:

1 Si va a realizar el examen, ¿cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?

2Si no realiza el examen, ¿cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?

16.- En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar.

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Solución:

1 ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por B sea una novela?

2Si se sabe que B eligió una novela, ¿cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

17.- Se supone que 25 de cada 100 hombres y 600 de cada 1000 mujeres usan gafas. Si el número de mujeres es cuatro veces superior al de hombres, se pide la probabilidad de encontrarnos:

1 Con una persona sin gafas.

2Con una mujer con gafas.

Solución:

1 Con una persona sin gafas.

2Con una mujer con gafas.

18.- En una casa hay tres llaveros A, B y C; el primero con cinco llaves, el segundo con siete y el tercero con ocho, de las que sólo una de cada llavero abre la puerta del trastero. Se escoge al azar un llavero y, de él una llave para abrir el trastero. Se pide:

1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

Solución:

1 ¿Cuál será la probabilidad de que se acierte con la llave?

2¿Cuál será la probabilidad de que el llavero escogido sea el tercero y la llave no abra?

3Y si la llave escogida es la correcta, ¿cuál será la probabilidad de que pertenezca al primer llavero A?

TEOREMA DE BAYES

1.En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar.

a. Determine el valor de la probabilidad de que sea menor de 24 meses.

b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses. Determine la probabilidad que sea una niña.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso H: seleccionar una niña.

Suceso V: seleccionar un niño.

Suceso M: infante menor de 24 meses.

En los ejercicios de probabilidad total y teorema de bayes, es importante identificar los sucesos que forman la población y cuál es la característica que tienen en común dichos sucesos. Estos serán los sucesos condicionados.

a. En este caso, la población es de los infantes. Y la característica en común es que sean menores de 24 meses. Por lo tanto, la probabilidad de seleccionar un infante menor de 24 meses es un ejemplo de probabilidad total. Su probabilidad será:

b. Para identificar cuando en un ejercicio se hace referencia al teorema de bayes, hay que partir de reconocer esta es una probabilidad condicionada y que la característica común de los sucesos condicionantes ya ha ocurrido. Entonces, la probabilidad de que sea niña una infante menor de 24 meses será:

2. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de genero masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:

a. Determine la probabilidad de que sea de género masculino

b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso F: pacientes que se realizan cirugías faciales

Suceso M: pacientes que se realizan implantes mamarios

Suceso O: pacientes que se realizan otras cirugías correctivas

Suceso H: pacientes de género masculino

a. La probabilidad de que sea de género masculino se refiere a un problema de probabilidad total, ya que es el suceso condicionado y las cirugías los condicionantes. Dicho valor será:

b. Como el suceso condicionado ha ocurrido entonces se aplica el teorema de bayes, luego, el valor de la probabilidad será:

3. Un Doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% el segundo en y 40% el tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.

SOLUCIÓN:

Se definen los sucesos:

Suceso P: seleccionar el primer aparato

Suceso S: seleccionar el segundo aparato

Suceso T: seleccionar el tercer aparato

Suceso E: seleccionar un resultado con error

Se puede observar que la pregunta es sobre determinar la probabilidad de que un examenerrado sea del primer aparato, es decir, ya ha ocurrido el error. Por lo tanto, debemos recurrir al teorema de bayes. Claro está, que es necesario de igual forma obtener la probabilidad de que los aparatos produzcan un resultado erróneo, por lo tanto:

4. La policía planea reforzar los límites de velocidad mediante el uso de un sistema de radar en

cuatro diferentes puntos dentro de la ciudad. Las trampas de radar en cada uno de los sitios

L1,L2,L3 y L4 operan 40%, 30%, 20% y 30% del tiempo, y si una persona que maneja a gran

velocidad cuando va a su trabajo tiene las probabilidades de 0.2, 0.1, 0.5, y 0.2,

respectivamente, de pasar por esos lugares, ¿cuál es la probabilidad de que reciba una multa

por conducir con exceso de velocidad?

SOLUCIÓN

Sean Li= el sitio “i” y T= multa al ser detectado por el radar

Fuente	P(Li)	P(T/Li)	P(Li∩T)=P(Li)P(T/Li)
L1	0.2	0.40	(0.40)(0.20)=0.08
L2	0.1	0.30	(0.1)(0.3)=0.03
L3	0.5	0.20	(0.5)(0.20)=0.10
L4	0.2	0.30	(0.2)(0.30)=0.06
∑P(Li)	1	∑(Pli)P(T/L1)	0.27

P(T)=∑(Pli)P(T/L1)=0.27

5. Una cadena de tiendas se pintura produce y vende pinturas de látex y semiesmalteada. Con

base en las ventas de largo plazo, la probabilidad de que un cliente compre látex es 0.75. De

los que compran pintura de látex, 60% también compran rodillos. Pero 30% de los

compradores de pintura semiesmalteada compran rodillos. Un comprador que se selecciona al

azar compra un rodillo y una lata de pintura. ¿cuál es la probabilidad de que la pintura sea de

látex?

SOLUCIÓN

Sea R = adquirir un rodillo

Fuente	P(Li)	P(R/Li)	P(Li∩R)=P(Li)P(R/Li)
L1 (Latex)	0.75	0.60	(0.75)(0.60)=0.45
L2 (semi esmaltada)	0.25	0.30	(0.25)(0.30)=0.075
		∑(Pli)P(T/L1)	0.525

P (L1| R)= P(L1)P(R|L1)/P(R)=0.45/0.525=0.8571

6. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

7. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone de alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es 0.02.
En el supuesto de que haya funcionado la alarma, ¿cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
Sean los sucesos:
I = Producirse incidente.
A = Sonar la alarma.

ESPERANZA MATEMÁTICA ( y cálculo de media)

1.Si alguien nos da $15 de una baraja normal de 52 cartas ¿cuánto deberíamos pagarle si retiramos un diamante, un corazón o un trébol, de manera que sea un juego justo?

E=∑P(x)

E=13/52 (15)+39/52 (x)

0=13/52 (15)+39/52 (x)

0=3.75+39/52 (x)

3.75=39/52 (x)

X=3.75 (-52)/39= $5

2. Si los dos campeonatos de la liga están igualmente clasificados, las probabilidades de que una semifinal de baloncesto de “mejor de los mejores” tome 4, 5, 6 o 7 juegos son 1/8, ¼, 5/16 y 5/16 ¿cuánto juegos podemos esperar que dure dicha semifinal en estas condiciones?

E=∑P(x)

E= 1/8 (4)+ ¼ (5)+ 5/16 (6)+ 5/16 (7)

E= 0.5+1.25+1.875+2.1875

E= 5.8125

3.El gestor salarial de un sindicato laboral cree que las posibilidades de que los miembros del sindicato obtengan un aumento de $1 en su salario por hora son de 3 a 1, de 17 a 3 que no obtengan un aumento de $1.40 en su salario por hora y de 9 a 1 que n obtengan un aumento de $2.00 en su salario por hora ¿cuál es el aumento esperado correspondiente en su salario por hora?

E=∑P(x)

E= 1/3 (1)+ 3/17 (-1.4)+ 1/9 (-2)

E= 0.33+ (-0.24)+ (-0.22) = -0.13

4. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

5.Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

6. En una ciudad, la temperatura máxima durante el mes de junio está distribuida normalmente con una media de 26º y una desviación típica de 4º.
Calcular el número de días que se "espera", tengan temperatura máxima comprendida entre 22º y 28º.
Como se trata de una distribución Normal, tipificamos (estandarizamos) los valores 22 y 28: z1= (22 – 26) / 4 = -1z2 = (28 – 26) / 4 = 0, 5Entonces la probabilidad de que en un día de junio la temperatura máxima esté entre 22 y 28º es: p( 22< x < 28) = p( -1 < z < 0,5 ) = 0, 5328Y el número esperado (esperanza) de días es: E(x) = n * p = 30 * 0, 5328 ≈ 16 días
7.En un bazar realizado para reunir fondos para una obra de caridad cuesta $1.00 probar la suerte retirando un as de una baraja normal de 52 cartas ¿cuál es el beneficio esperado por cliente si pagan $10 si sólo un cliente saca un as?

E=∑P(x)

$10= 4/52 (x)

$10=0.076 (x)

X= 10/0.076 =130

8.Como parte de un programa de promoción, el fabricante de un nuevo alimento para desayunar ofrece un premio de $50 000 a alguien que desee probar el nuevo producto (distribuido sin cargos) y envie su nombre en la etiqueta. Se seleccionará al ganador al azar de todos los cupones recibidos. ¿Cuál es la esperanza matemática de cada concursante si 200 000 personas envían su nombre?

E= 1/ 200 000 (50 000) =0.25

9. Los padres de una estudiante le prometen un regalo de $100 si saca una A en estadística, $50 si obtiene una B y ningún premio si obtiene alguna otra calificación ¿Cuál es su esperanza matemática si las probabilidades de que saque A o B son 0.32 y 0.40?

E=∑P(x)

E= 0.32 (100)+ 0.40 (50)= $52

10. Si un club vende 600 boletos para una rifa con un premio en efectivo de $120 ¿Cuál es la esperanza matemática de una persona que compra uno de estos boletos?

1/ 600 . 120 =0.2

11. La caja 1 contiene 20 tiras de papel de las cuales 19 tienen la marca $0 y la otra tiene la marca $5; la caja 2 tiene 50 tiras de papel de las cuales 49 tienen la marca $0 y la otra tiene la marca $14. Si una persona gana el valor de la tira que saque ¿Qué es más inteligente sacer una tira de la caja 1 o de la2?

1/20 = 0.05 E=1/20 (5) = 0.25

1/50 = 0.02 E=1/50 (14) = 0.28

12. Dada la experiencia aleatoria de anotar las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado, calcular:

1. La función de probabilidad y su representación.

x p _i

1

2

3

4

5

6

1

2. La función de distribución y su representación.

x p _i

x <1 0

1≤ x < 2

2≤ x < 3

3≤ x < 4

4≤ x < 5

5≤ x < 6

6≤ x 1

3. La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

x p _i x· p _i x²·p_i

1

2

3

4

5

6 1 6

x	p _i
1
2
3
4
5
6
1

x	p _i
x <1	0
1≤ x < 2
2≤ x < 3
3≤ x < 4
4≤ x < 5
5≤ x < 6
6≤ x	1

13. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x	p _i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

2. Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

14. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es:

x	p _i
0	0,1
1	0,2
2	0,1
3	0,4
4	0,1
5	0,1

1. Calcular, representar gráficamente la función de distribución.

2. Calcular las siguientes probabilidades:

p (X < 4.5)

p (X < 4.5) = F (4.5) = 0.9

p (X ≥ 3)

p (X ≥ 3) = 1 - p(X < 3) = 1 - 0.4 = 0.6

p (3 ≤ X < 4.5)

p (3 ≤ X < 4.5) = p (X < 4.5) - p(X < 3) = 0.9 - 0.4 = 0.5

15. Sabiendo que p(X ≤ 2) = 0.7 y p(X ≥ 2) = 0.75. Hallar:

La esperanza matemática, la varianza y la desviación típica.

x	p _i	x · p _i	x²· p_i
0	0.1	0	0
1	0.15	0.15	0.15
2	0.45	0.9	1.8
3	0.1	0.3	0.9
4	0.2	0.8	3.2
		2.15	6.05

μ =2.15

σ² = 6.05 - 2.15² = 1.4275

σ = 1.19

16.Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

μ = 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

17. Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Hallar la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza.

x	p _i	x · p _i	x²· p_i
2	1/36	2/36	4/36
3	2/36	6/36	18/36
4	3/36	12/36	48/36
5	4 /36	20/3 6	100/36
6	5/36	30/36	180/36
7	6/36	42/36	294/36
8	5/36	40/36	320/36
9	4 /36	36/36	324/36
10	3/36	30/36	300/36
11	2/36	22/36	242/36
12	1/36	12/36	144/36
		7	54.83

18. Un jugador lanza un dado corriente. Si sale número primo, gana tantos cientos de euros como marca el dado, pero si no sale número primo, pierde tantos cientos de euros como marca el dado. Determinar la función de probabilidad y la esperanza matemática del juego.

x	p _i	x· p _i
+100		100/6
+ 200		200/6
+ 300		300/6
- 400		-400/6
+ 500		500/6
-600		- 600/6
		100/6

µ =16.667

19. Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

μ = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

20. El ganador de un torneo de tenis obtiene $40 000 y el subcampeón obtiene $15 000 ¿cuáles son las expectativas matemáticas de los dos finalistas si

E=∑P(x)

a) Tienen las mismas probabilidades;

E= 40 000 (0.5)+ 15 000 (0.5)

E= 20 000+ 7 500 = $27 500

b) Sus probabilidades de ganar son 0.60 y 0.40;

E= 40 000 (0.6)+ 15 000 (0.4)

E= 24000+ 6000 = $30 000

c) Sus probabilidades de ganar son 0.70 y 0.30?

E= 40 000 (0.7)+ 15 000 (0.3)

E= 28 000 + 4 500 = $32 500

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

En los ejercicios 1-7 determine, si los experimentos son binomiales. Para los que no sean
binomiales, identifique al menos un requisito que no se satisfaga.
1. Lanzar un dado 50 veces.
No es binomial porque se tienen más de dos resultados posibles
2. Lanzar una moneda predispuesta 200 veces.
Es binomial
3. Encuestar 1000 consumidores estadounidenses preguntándole a cada uno si reconoce la
marca NiKe.
Es binomial
4. Girar una ruleta 500 veces.
No es binomial porque se tienen más de dos resultados posibles
5. Encuestar 1067 personas preguntándole a cada una si votó en las últimas elecciones.
Es binomial
6. Muestrear (sin reemplazo) un grupo de 12 llantas diferentes seleccionado al azar de un
población de 30 llantas, cinco de las cuales tienen defectos.
No es binomial ya que la probabilidad de éxito p no es constante
En los ejercicios 7 -11, determine la probabilidad solicitada.
7. Mars, Inc., asegura que el 20% de sus dulces M&M lisos son rojos. Calcule la probabilidad
de que si se escogen 15 dulces M&M lisos al azar, exactamente el 20% (tres dulces) sean
rojos.
n = 15; p =0.20
P(X = 3) = f(3) = 0.2502
8. Según el Departamento de justicia de Estados Unidos, el 5% de todos los hogares
estadounidenses sufrió al menos un robo el año anterior, pero la policía de Newport
informa que una comunidad de 15 hogares sufrió cuatro robos el año anterior. Después de
calcular la probabilidad de tener cuatro o más robos en una comunidad de 15 hogares,
¿cree usted que esa comunidad simplemente haya tenido mala suerte?
n = 15; p =0.05
P(X > 4) = Σ4
15
f(x) = 0.0055
El evento es tan raro como para atribuírselo al azar. Lo más probable es que haya
problemas de seguridad.
9. Se sabe que el 25% de las personas que asisten a cierto tipo de evento deportivo, poseen
abono de temporada. Si se toma una muestra al azar de 10 aficionados, ¿cuál es la
probabilidad de encontrar :
a. exactamente 2,
P(X = 12) = f(10) = 0.2816
b. a lo más 4,
P(X < 4) =Σ0
4 f(x) = = 0.9219
c. al menos 5,
P(X > 5) = Σ5
10 f(x) = 0.0781
d. no más de 4 pero no menos de 1 que posean abono de temporada?
P(1 < X < 4) = Σ1
4 f(x)= 0.8656
10. Un reporte de periódico afirma que el 45% de los ciudadanos de la población X se opone a
la construcción de un centro comercial en una área designada como reserva ecológica. Si se encuesta a un grupo de 25 personas de manera aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de
que el número de personas que se oponen a tal construcción sea :
n = 25; p =0.45
a. al menos 10?
P(X > 10) = Σ10
25 f(x) = 0.7576
b. no más de 15?
P(X < 15) = Σ0
15 f(x) = 0.95604
c. menos de 10?
P(X < 10) = Σ0
9 f(x) = 0.2424
d. a lo más 17 pero al menos 10?
P(10 < X < 17) = Σ10
17 f(x) = 0.7518

11. El 85 % de los estudiantes de cierta universidad son estudiantes de tiempo completo. Si se
toma una muestra al azar de 25 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que :
n = 25; p =0.85
a. a lo más 20 sean estudiantes de tiempo completo?
P(X < 20) = Σ0
20 f(x) = 0.3179
b. al menos 10 sean estudiantes de tiempo completo?
P(X > 10) = Σ10
25 f(x) = 1.0000
c. menos de 15 sean de tiempo completo?
P(X < 15) = Σ0
14 f(x) = 0.0005
12. Se sabe que en promedio el número de imperfecciones que se puede encontrar en una
botella de vidrio es, en promedio, de 3, Si se asume una distribución de Poisson, ¿Cuál es
la probabilidad de en una botella de vidrio tenga :
µ = 3
a. ningún defecto?
P(X = 0) = f(0) = 0.0498
b. a lo más 5 defectos?
P(X < 5) = Σ0
5 f(x) = 0.91610
c. más de 4 defectos?
P(X > 4) = Σ5
∞
f(x) = 1 - Σ0
4 f(x) = 1 -0.8153 = 0.1847
d. no menos de 3 pero no más de 7 defectos?
P(3 < X < 7) = Σ3
7 f(x) = 0.5649
13. El número de accidentes que ocurre en cierto crucero al día es, en promedio, 10. Si se
selecciona un día al azar y se asume una distribución de Poisson, calcular la probabilidad
de que el número de accidentes sean :
µ = 10
a. al menos 10?
P(X > 10) = Σ10
∞
f(x) = 1 - Σ0
9 f(x) = 1 – 0.4579 = 0.5421
b. menos de 7?
P(X < 7) = Σ0
6 f(x) = 0.1301
c. no menos de 5 pero no más de 9?
P(5 < X < 9) = Σ5
9 f(x) = 0.4286
d. mas de 8?
P(X > 8) = Σ9
∞
f(x) = 1 - Σ0
8 f(x) = 1 – 0.3328 = 0.6672

14. Cierto conmutador recibe, durante las horas de oficina, en promedio, 5 llamadas por cada 2
minutos. Si se supone que sigue una distribución de Poisson, calcular la probabilidad de
que en un intervalo de 2 minutos dentro de las horas de oficina, el conmutador reciba:
µ = 5
a. a lo sumo 7 llamadas.
P(X < 7) = Σ0
5 f(x) = 0.8666
b. a lo menos 3 llamadas.
P(X > 3) = Σ3
∞
f(x) = 1 - Σ0
2 f(x) = 1 – 0.1246 = 0.8754
c. no más de 5 pero no menos de 1 llamadas.
P(1 < X < 5) = Σ1
5 f(x) = 0.6093
15. Se sabe que el número de accidentes mensuales que ocurre en una empresa es, en
promedio, 4. Si se sabe que se ajustan a una distribución de Poisson, ¿cuál es la
probabilidad de que en un mes determinado ocurran en tal empresa:
µ = 4
a. a lo menos 7 accidentes?
P(X > 7) = Σ7
∞
f(x) = 1 - Σ0
6 f(x) = 1 – 0.8893 = 0.1107
b. A lo más de 3 accidentes?
P(X < 3) = Σ0
3
f(x) = 0.4335
c. no mas de 8 pero no menos de 2 accidentes?
P(2 < X < 8) = Σ2
8 f(x) = 0.8871

16. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en esta s condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a) Las cinco personas.
B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3
P(X)= (5/5)(2/3)⁵=0.132

17. La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que en el grupo hayan leido la novela 2 personas?
b) ¿Y cómo máximo 2?

a) B(4, 0.2) p = 0.8 q = 0.2
binomial

18. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

19. Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5
solución

20. Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a) Ningún paciente tenga efectos secundarios
B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

solucioón

b) Al menos dos tengan efectos secundarios.
solucioón

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

1. Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?

Solución:

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narcótico

n = 3 tabletas seleccionadas

x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas

p(viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = p(de que entre las 3 tabletas seleccionadas haya 1 o más tabletas de narcótico)

otra forma de resolver;

p(el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos) = 1 – p(de que entre las tabletas seleccionadas no haya una sola de narcótico)

b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)

_2.a)¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehúse a servir bebidas alcohólicas únicamente a dos menores de edad si verifica aleatoriamente solo 5 identificaciones de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 no tienen la edad suficiente?, b) ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad?

a) N = 9 total de estudiantes

a = 4 estudiantes menores de edad

n = 5 identificaciones seleccionadas

x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad

x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

b) N = 9 total de estudiantes

a = 4 estudiantes menores de edad

n = 5 identificaciones seleccionadas

x = variable que nos define el número de identificaciones que pertenecen a personas menores de edad

x = 0, 1, 2, 3 o 4 identificaciones de personas menores de edad

3. De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

Solución:

a) N = 10 proyectiles en total

a = 7 proyectiles que explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara

b) N = 10 proyectiles en total

a = 3 proyectiles que no explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 0, 1, 2 o 3 proyectiles que no explotan

p(al menos 2 no exploten) = p( 2 o más proyectiles no exploten) = p(x = 2 o 3; n=4) =

4. En una florería hay 20 variedades de flores, de las cuales 8 son diferentes clases de rosas.

¿Que probabilidad hay de que al extraer una muestra al azar de12 flores , se incluyan 3 clases de rosas?
Es una distribución hipergeométrica , con los siguientes parámetros:
N=tamaño de población =20
n=tamaño de muestra=12
A=éxitos en la población=rosas=8
k=éxitos en la muestra=rosas=3

Sustituimos los valores en la fórmula general:

Realizando cálculos , obtenemos:

5.Calcular la media o valor esperado y la varianza utilizando un método relacionado con las distribuciones de probabilidad.

Solución:

Se trata de una distribución hipergeométrica por lo siguiente: i) Solo puede existir un número finito de ensayos (máximo 7 selecciones), por cuanto se supone que cada pregunta seleccionada no puede ser reemplazada. ii) Existen dos resultados posibles en cada selección a saber: que la pregunta seleccionada haya sido formulada en años anteriores o no. Estos dos resultados son opuestos entre sí. iii) Los ensayos son dependientes entre sí, porque la probabilidad de que una pregunta seleccionada haya sido formulada en años anteriores, depende de lo que haya sucedido en las anteriores selecciones.

1) µ= E(X) = n.p =3x3/7 = 1.29

2)

σ^2 = (N-n)/(n-1) n.p.q=(7-3)/(3-1) 3 3/7 .4/7=1.47

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DE VARIABLES

ALEATORIAS DISCRETAS

ESPACIO MUESTRAL. El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico

denotado por “S” o “Ω ”

VARIABLE. Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor cualesquiera durante la

duración de un proceso dado. Si la variable toma un solo valor durante el proceso se llama constante.

VARIABLE ALEATORIA: Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir de una respuesta a otra.

Una vaiable aleatoria se puede clasificar en:

Variable aleatoria discreta.

Variable aleatoria continua.

Variable aleatoria discreta. Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas numéricas que resultan de un proceso de conteo.

La cantidad de alumnos regulares en un grupo escolar.

El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda.

Número de circuitos en una computadora.

El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos

Variable aleatoria continua. Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; ésta puede asumir infinito número de valores y éstos se pueden medir.

La estatura de un alumno de un grupo escolar.

El peso en gramos de una moneda.

La edad de un hijo de familia.

Las dimensiones de un vehículo.

DISTRIBUCIONES

Distribución de probabilidad. Es una distribución teórica de frecuencias que describe cómo se espera que varíen los resultados de un experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos este pueden clasificar en:

CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN DISCRETA

1. Media o valor esperado de x.- Para determinar la media de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

m = media de la distribución

E(x) = valor esperado de x

x_i = valores que toma la variable

p(x_i) = probabilidad asociada a cada uno de los valores de la variable x

Desviación estándar. Para determinar la desviación estándar de la distribución discreta se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

s = desviación estándar

m = media o valor esperado de x

x_i = valores que toma la variable x

p(x_i) = probabilidad asociada a cada uno de los valores que toma x

Ejemplos

3.Según estadísticas la probabilidad de que el motor de un auto nuevo, de cierto modelo, y marca sufra de algún desperfecto en los primeros 12 meses de uso es de 0.02, si se prueban tres automóviles de esta marca y modelo, encuentre el número esperado de autos que no sufren de algún desperfecto en los primeros doce meses de uso y su desviación estándar.

Solución:

Haciendo uso de un diagrama de árbol, usando las literales siguientes, se obtiene el espacio muestral d como se muestra a continuación;

N = no sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

S = sufre de algún desperfecto en el motor los primeros 12 meses de uso

1^er auto N

2^o auto S

3^o S

d = {NNN, NNS, NSN, NSS, SNN, SNS, SSN, SSS}

x = variable que nos define el número de autos que no sufre de algún desperfecto en el motor durante los primeros 12 meses de uso

x = 0, 1, 2 o 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

p(x=0)=p(SSS)=(0.02)(0.02)(0.02)=0.000008

p(x=1)=p(NSS, SNS, SSN)=(0.98)(0.02)(0.02)+(0.02)(0.98)(0.02)+(0.02)(0.02)(0.98)=

=0.001176

p(x=2)=p(NNS,NSN,SNN)=(0.98)(0.98)(0.02)+(0.98)(0.02)(0.98)+(0.02)(0.98)(0.98)==0.057624

p(NNN) = (0.98)(0.98)(0.98) =0.941192

Por tanto la media o valor esperado se determina de la siguiente manera:

m =E(x) = (0)(0.000008)+(1)(0.001176)+(2)(0.057624)+(3)(0.941192)=

=0.0+0.001176+0.115248+2.823576=2.94@ 3 autos que no sufren algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso

La interpretación de la media o valor esperado es; se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en el motor en los primeros 12 meses de uso.

s==

=±0.2497@±0.0 autos que no sufren algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso.

Interpretación:

En este experimento se espera que los 3 autos probados no sufran de algún desperfecto en su motor en los primeros 12 meses de uso y la variabilidad de este experimento es de cero.

Nota:

La media y la desviación estándar se redondean a un valor entero ya que son la media y desviación de una distribución de probabilidad discreta.

4.Se ha detectado en una línea de producción que 1 de cada 10 artículos fabricados es defectuoso; se toman de esa línea tres artículos uno tras otro, a) obtenga la distribución de probabilidad del experimento, b) encuentre el número esperado de artículos defectuosos en esa muestra y su desviación estándar.

Solución:

También haciendo uso de in diagrama de árbol, se obtiene el espacio muestral d

D = objeto defectuoso

N = objeto no defectuoso

d={DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN}

Este espacio muestral ha sido obtenido haciendo uso de un diagrama de árbol,

x = Variable que nos define el número de objetos defectuosos encontrados

x = 0, 1, 2 o 3 objetos defectuosos

p(x=0)=p(NNN)=(0.9)(0.9(0.9)=0.729

p(x=1)=p(DNN, NDN, NND)=(0.1)(0.9)(0.9)+(0.9)(0.1)(0.9)+(0.9)(0.9)(0.1)=0.243

p(x=2)=p(DDN, DND, NDD)=(0.1)(0.1)(0.9)+(0.1)(0.9)(0.1)+(0.9)(0.1)(0.1)=0.027

p(x=3)=p(DDD)=(0.1)(0.1)(0.1)=0.001

Distribución de probabilidad

x	0	1	2	3
P(x)	0.729	0.243	0.027	0.001

b) (0)(0.729)+(1)(0.243)+(2)(0.027)+(3)(0.001)=

= 0.0 + 0.243 + 0.054 + 0.003 = 0.3 @0 productos defectuosos

Interpretación:

Se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso.

=± 0.6 =± 1 producto defectuoso

Interpretación:

En este experimento se espera que ninguno de los productos inspeccionados sea defectuoso, pero los resultados de este experimento pueden variar en ± 1 producto defectuoso, por lo que al inspeccionar los 3 productos el numero de productos defectuosos puede variar desde –1 producto defectuoso, hasta 1 producto defectuoso, pero, ¿es posible obtener –1 producto defectuoso?, claro que esto no puede ocurrir, luego el número de productos defectuosos en el experimento variará de 0 a 1 producto defectuoso solamente.

5.Según estadísticas, la probabilidad de que un pozo petrolero que se perfore en cierta región pueda ser beneficiado es de 0.30. Se perforan tres pozos en esa región, encuentre el número esperado de pozos que pueden ser beneficiados y su desviación estándar.

Solución:

Se obtiene el espacio muestral d, de la misma forma que se ha hecho en los ejemplos anteriores;

B = se puede el pozo que se perfora

N = no se puede beneficiar el pozo que se perfora

d= {BBB, BBN, BNB, BNN, NBB, NBN, NNB, NNN}

x = variable que nos define el número de pozos que se pueden beneficiar

x = 0, 1, 2 o 3 pozos que se pueden beneficiar

p’(x = 0) = p(NNN) = (0.7)(0.7)(0.7)= 0.343

p(x = 1) = p(BNN, NBN, NNB) = (0.3)(0.7)(0.7)(3)=0.441

p(x = 2) = p(BBN, BNB, NBB) = (0.3)(0.3)(0.7)(3)=0.189

p(x = 3) = p(BBB) =(0.3)(0.3)(0.3)= 0.027

@1 pozo beneficiado

Interpretación:

Se espera que solo 1 de los tres pozos perforados sea el que pueda ser beneficiado.

Interpretación:

La cantidad esperada de pozos que se pueden beneficiar puede variar en 1 ± 1 pozo, esto es la cantidad de pozos que se pueden beneficiar puede variar de 0 a 2 pozos.

6.La distribución de probabilidad de x , el número de defectos por cada 10 metros de una tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme , es

x	0	1	2	3	4
p(x)	0.41	0.37	0.16	0.05	0.01

a) Determine la distribución de probabilidad acumulada de x; P(x).

b) Determine el número esperado de defectos por cada 10 metros de tela sintética en rollos continuos de ancho uniforme y la desviación estándar del número de defectos por cada 10 metros de tela .....

c) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren como máximo 2 defectos.

d) Determine la probabilidad de que en 10 metros de tela sintética se encuentren por lo menos 2 defectos.

Solución:

X	0	1	2	3	4
p(x)	0.41	0.37	0.16	0.05	0.01
P(x)	0.41	0.78	0.94	0.99	1.0

@ 1 defecto

Interpretación:0.16, 0.05 ,0.01

Se espera que por cada 10 metros de tela se encuentre un defecto.

Interpretación:

El número de defectos esperado puede variar en ± 1 defecto, es decir que el número de defectos esperado por cada 10 metros de tela puede variar de 0 a 2.

c) p(x £ 2)= p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) = 0.41+0.37+0.16 = 0.94

d) p(x ³ 2) = p(x=2) + p(x=3) + p(x=4) = 0.16 + 0.05 + 0.01= 0.22

7. De los usuarios de un centro de documentaci´on, el 23 % pertenece al grupo I de edad (menos de 20 an˜os). Supongamos, tambi´en, que la poblaci´on es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Realizamos el experimento que consiste en elegir al azar tres usuarios del centro de documentaci´on y observar la variable aleatoria X =nu´mero de usuarios que pertenecen al grupo I de edad, entre los tres elegidos al azar.

a) Hallar el conjunto de los posibles resultados de la variable aleatoria X , as´ı como su funcion de probabilidad.

b) Hallar la probabilidad de que el nu´mero de usuarios que pertenecen al grupo I sea menor que dos.

c) Determinar la funcion de distribuci´on de X y hacer su representaci´on gr´afica.

d) Calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de X .

. X ≡ B(n = 3, p = 0023)

a) La funcion de probabilidad de X es:

P (X = k) =

k!(n − k)!

pk qn−k para k = 0, 1, 2, 3

siendo n = 3, p = 0023 y q = 1 − p = 0077.

Expl´ıcitamente, la funcion de probabilidad viene dada en la siguiente tabla:

xi	pi = P (X = xi )
0 1 2 3	00456533 00409101 00122199 00012167

b) P (X < 2) = 00865634

c) La funci´on de distribuci´on, para todo valor de t, es la siguiente:

 0 si t < 0



 00456533 si 0 ≤ t < 1

FX (t) = 00865634 si 1 ≤ t < 2

 0

0 987833 si 2 ≤ t < 3

 1 si t ≥ 3

Su representacion grafica es similar al gr´afico de frecuencias acumuladas relativas de una variable estad´ıstica cuantitativa discreta (con datos no agrupados en intervalos).

d) Media= µ = n p = 3 · 0023 = 0069 usuarios, Varianza= σ2 = n p q = 3 · 0023 · 0077 = 005313

usuarios2, Desviacion t´ıpica= σ = 007289 usuarios.

8. De un total de 500 libros, 50 son cient´ıficos. Extraemos al azar un primer libro entre los 500 y lo reponemos en la poblaci´on de libros antes de realizar una nueva extraccion; volvemos a extraer al azar un segundo libro entre los 500 y lo reponemos antes de hacer una nueva extraccion; . . .; finalmente, extraemos un quinto libro entre los 500. Consideramos la variable aleatoria X =nu´mero de libros cient´ıficos, entre los 5 elegidos al azar con reposici´on.

a) Hallar la funcion de probabilidad de X y hacer su representaci´on grafica.

b) Determinar la funcion de distribuci´on de X y hacer su representaci´on gr´afica.

c) A partir de la funci´on de distribuci´on de X , calcular la probabilidad de que el nu´mero de libros cient´ıficos sea mayor que 3.

d) Calcular la media y la desviaci´on t´ıpica de X .

. X ≡ B(n = 5, p = 001)

a) La funcion de probabilidad de X es:

P (X = k) =

k!(n − k)!

pk qn−k para k = 0, 1, 2, 3, 4, 5

siendo n = 5, p = 001 y q = 1 − p = 009.

Expl´ıcitamente, la funcion de probabilidad viene dada en la siguiente tabla:

xi	pi = P (X = xi )
0 1 2 3 4 5	0059049 0032805 000729 000081 0000045 0000001

Su representacion grafica es similar al diagrama de barras de frecuencias relativas de una variable estad´ıstica cuantitativa discreta (con datos no agrupados en intervalos).

Dra. Josefa Mar´ın Fern´andez. Grado en Informaci´on y Documentacion. Estad´ıstica. Tema 5 9

b) La funci´on de distribuci´on, para todo valor de t, es la siguiente:

 0 si t < 0



 0059049 si 0 ≤ t < 1



 0091854 si 1 ≤ t < 2

FX (t) = 0099144 si 2 ≤ t < 3

 0

0 99954 si 3 ≤ t < 4



 0

0 99999 si 4 ≤ t < 5

 1 si t ≥ 5

Su representacion grafica es similar al gr´afico de frecuencias acumuladas relativas de una variable estad´ıstica cuantitativa discreta (con datos no agrupados en intervalos).

c) P (X > 3) = 1 − FX (3) = 0000046.

d) Media= µ = n p = 5 · 001 = 005 libros cient´ıficos, Varianza= σ2 = n p q = 5 · 001 · 009 = 0045

(libros cient´ıficos)2, Desviacion t´ıpica= σ = 006708 libros cient´ıficos.

. Se sabe que el 4 % de los libros que se prestan en una biblioteca escolar se devuelven con retraso. Se realiza el experimento que consiste en observar si la devoluci´on de cada libro se ha hecho con retraso o no. Se eligen al azar 12 libros prestados.

a) ¿Cual es la probabilidad de que se devuelvan con retraso 2 libros?

b) ¿Cual es la probabilidad de que se devuelvan con retraso mas de 2 libros?

a) P (X = 2) = FX (2) − FX (1) = 00 070206.

b) P (X > 2) = 1 − FX (2) = 00010729.

10. Supongamos que el 1 % de la poblaci´on de todos los usuarios de un centro de docu- mentaci´on tiene menos de 10 an˜os. Supongamos, tambi´en, que la poblaci´on es suficientemente grande como para que al elegir un usuario al azar y apartarlo, no se altere dicho porcentaje. Se eligen al azar 15 usuarios de dicho centro de documentaci´on. Calcular:

a) La probabilidad de que ninguno de ellos tenga menos de 10 an˜os.

b) La probabilidad de que tengan menos de 10 an˜os 3 usuarios o menos. c) La probabilidad de que tengan menos de 10 an˜os menos de 3 usuarios. d) La probabilidad de que tengan menos de 10 an˜os mas de 2 usuarios.

e) La probabilidad de que tengan menos de 10 an˜os 2 usuarios o mas.

f ) La probabilidad de que el nu´mero de usuarios con menos de 10 an˜os est´e comprendida entre 2 (incluido) y 10 (incluido).

g) El nu´mero medio de usuarios con menos de 10 an˜os

a) P (X = 0) = FX (0) = 00860058. b) P (X ≤ 3) = FX (3) = 00999988. c) P (X < 3) = FX (2) = 00999584.

d) P (X > 2) = 1 − FX (2) = 00000416.

e) P (X ≥ 2) = 1 − FX (1) = 00000963.

f ) P (2 ≤ X ≤ 10) = FX (10) − FX (1) = 00 000963.

g) E(X ) = np = 0015 usuarios con menos de 10 an˜os.

CALCULO DE MEDIA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR PARA UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA

1.Media o valor esperado de x.- Para calcular la media de una distribución de probabilidad continua se utiliza la siguiente fórmula:

Donde:

m = E(x) = media o valor esperado de la distribución

x = variable aleatoria continua

f(x) = función de densidad de la distribución de probabilidad

2.Desviación estándar.- La fórmula para determinar la desviación estándar de una distribución continua es;

luego:

Ejemplos:

Para la siguiente función,

cuando 0£ x £ 3 , f(x) = 0 para cualquier otro valor

a) Diga si esta función nos define una distribución de probabilidad.

b) Si la función define una distribución de probabilidad, entonces, determine su media y desviación estándar.

c) Determine la probabilidad de que 1£ x < 2.

Solución:

a) Para verificar que la función nos define una distribución de probabilidad, es necesario que cumpla con las características que se habían mencionado.

1. x ® sí es una variable continua porque puede tomar cualquier valor entre 0 y 3

2. f(x)³ 0, lo que se comprueba si damos diferentes valores a x para ver que valores toma f(x), dándonos cuenta de que efectivamente f(x) solo toma valores mayores o iguales a cero.

x	f(x)
0	0.0
0.5	0.02778
1.0	0.11111
1.4	0.21778
2.1	0.49
2.7	0.81
3.0	1.0

3. Para comprobar que la sumatoria de las probabilidades que toma cada valor de x es de 1, se integra la función de 0 a 3 como se muestra a continuación:

A= área bajo la función

Con las operaciones anteriores comprobamos que la función sí nos define una distribución de probabilidad continua.

b) Cálculo de media y desviación estándar.

Las barras nos indican la evaluación de la integral entre 0 y 3.

La barra nos indica la evaluación de la integral de 1 a 2.

Con las operaciones anteriores nos damos cuenta que para evaluar probabilidades para variables de tipo continuo, es necesario evaluar la función de densidad de probabilidad en el rango de valores que se desea; que vendría siendo el área que se encuentra entre f(x) y el eje de las x y entre el rango de valores definidos por la variable x.

Suponga que el error en la temperatura de reacción, en ^oC, para un experimento controlado de laboratorio es una variable aleatoria continua x, que tiene la función de densidad de probabilidad:

, para -1< x < 2 y f(x) = 0 en cualquier otro caso

a) Verifique la tercera condición de la definición de una distribución de probabilidad continua.

b) Determine la media o valor esperado de la distribución de probabilidad.

c) Encuentre la probabilidad de que 0< x £ 1.

Solución:

a) Como la tercera condición es que la sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma x debe de ser 1, esto se comprueba de la siguiente manera: